문뜩 그런 생각이 들었다.

우리나라 중고교 수학교과과정을 보면 중학교 때까지는 사칙연산과 간단한 식 연산을 배우고, 고등학교 때는 (잡다한 몇몇 내용들이 섞여있기는 하지만) 사실상 미적분학을 중심으로 커리큘럼이 흘러간다는 것을 알 수 있다. 문과에서는 요새 미적분학도 안배우고 대학에 진학을 한다지만, 사실 그건 미적분학 전까지 내용을 무작위로 잘라버려서 그렇지 커리큘럼 자체는 미적분학을 향하고 있다해도 무방하다.

미적분학은 중요하다. 특히 이공계쪽에서 미적분학은 핵심적인 기초사항이다. 하지만 미적분학은 특정분야를 전공하는 사람들이 자신의 전문분야를 배우기위해 필요한 도구이지 실생활에서 쉽게 접할 수 있다거나, 논리적 분석력 향상이라는 중고교 수학교육의 목표와는 다소 거리가 있다.

그런면에서 미적분학은 대학에서 필요한 학생들만 배우는게 오히려 낫다. 물론 미적분학을 문이과할 것없이 모두 고등학교 때 배웠던 우리나 우리 윗세대 사람들이 보면 미적분학의 ㅁ도 모르는 대학 신입생들이 깝깝해 보일 수도 있겠지만 필요에 의해서 맘먹고 공부하려고하면 대학 4년 동안 그거하나 못배울까. 그거 하나 좀 덜 배우고 들어왔다고 학업이 얼마나 뒤쳐지겠는가.

통계자료에 의하면 서울대 신입생들 평균학점이 1학년 때는 과학고를 비롯한 특목고 학생들이 일반고보다 높지만, 2학년만 되어도 엎치락뒷치락 매년 순위가 바뀔정도로 차이가 없다. 아마 미적분학이나 일반 물리, 일반 화학 등을 미리 좀 더 심화해서 배웠던게 1학년 때는 효과를 발했지만 그 이후엔 거의 영향이 없다고 보면 될 것이다. 고등학교 때 좀 더 배우고 들어오나 아니나 근본적인 학업능력만 갖춰지면 전공 공부하는데는 영향이 없다는 거다. 

하지만 통계학은 어떤가. 어느 날짜든 신문을 펴면 여론조사 결과나 각종 통계수치 자료들이 나와있는 것을 볼 수 있다. TV 뉴스에서는 '신뢰도 몇%에 표본오차 ±몇%' 라는 문구를 자주 발견할 수 있다. 근데 정작 고등학교까지 모두 마쳐도 이 의미를 제대로 이해하는 사람이 몇이나 될까?

일반 대중에게 있어 중고교 수학을 배우는 가장 큰 목적은 정보화시대에 대량의 정보들을 논리적으로 분석하고 정리해서 의미있는 결과를 도출해내는 능력을 함양하기 위함이라 할 수 있다. 통계학은 이런 면에서도 딱 맞는 분야이다. 여러 자료조사 결과한 것들로부터 각종 통계지표를 직접 계산해보고 그 의미가 무엇인지 배우고 현실 속에서 적용시켜보고... 자료분석능력은 PSAT에서도 측정하는 중요한 요소 아닌가. 아마 이런 교육이 이뤄진다면 "수학 왜 배워요?"하는 애들도 많이 줄어들지 않을까.

http://www.pressian.com/article/article.asp?article_num=40090624145904&section=06

문화체육관광부(장관 유인촌)는 24일 "극장에서 영화 시작 전 나라 안팎 소식과 정부 정책을 소개하던 추억의 '대한늬우스'가 돌아온다"며 "오는 25일부터 한달간 전국 52개 극장 190개 상영관에서 코믹 버전의 '대한늬우스-4대강 살리기' 정책 홍보 동영상을 상영할 예정"이라고 밝혔다.


헐... 제발 트랜스포머의 즐거움을 빼앗아가지 말아줘...

오랫만에 수학 이야기 포스팅입니다.

분명 처음에 '공부하는 것' 게시판을 열었을 때는 나름 각오를 가지고 시작했었는데 초반부터 시리즈 연재+모두 영어쓰기를 하려했더니 부담이 만빵이어서 자꾸 미루게되고 안쓰게 되더라구요. 그래서 시리즈고 영어고 다 집어치우고 그냥 꼴리는대로(?) 심심할 때마다 막 쓰기로 했습니다. 아마 전혀 self-contained 하지 않은 포스팅일 듯.ㅋㅋ

오늘은 제가 요즘 연구하는 문제에 대해 소개해보려합니다.
문제는 다음과 같습니다.

F-conjecture : Every extremal ray in  is generated by curve stratum.

문제가 짧죠?;; 하지만 다양한 moduli spaces의 여러 compactifications 사이의 관계를 밝히는 문제나, Minimal Model Program(MMP)에서 굉장히 중요한 문제입니다. 이 추측을 전제로 할 수 있는 것이 무엇인지에 대해 나온 논문도 여러 편이구요. (근데 추측이 거짓일꺼라 주장하는 수학자들도 있다능;;)

이 문제를 처음 제기한 사람은 Fulton이었습니다. 그는 g=0인 case에 대해 추측을 얘기했죠. 그래서 사람에 따라 Fulton's Conjecture라고 부르기도 합니다. 이후에 Faber가 n=0이고 lower genus인 케이스(g=2,3,4)에 대한 연구를 했는데 본격적으로 연구를 처음 시작한건 Faber라서 보통 이 두 사람 이름의 첫머리를 따서 F-conjecture라 부릅니다.

현재 이 문제를 가장 활발하게 연구하는 팀은 Joe Harris와 그의 제자들(Chen, Coskun, Hassett, McKernan, Smyth, Starr)입니다. 최근엔 제자의 제자들(e.g. Hassett의 제자들 Simpson, Swinarski)도 뛰어든 상태구요. 또다른 팀은 Fulton의 제자 Keel과 그의 제자 Gibney, Rulla가 있고, Faber, Farkas, Morrison 등이 연구하고 있습니다.

이제 구체적으로 문제를 하나하나 뜯어보죠.

우선  라는 moduli space부터 이해할 필요가 있습니다. 이 공간은 이라는 공간의 어떤 compactification (Deligne-Knudsen-Mumford's compactification)인데, 은 genus가 g이고 distinct marked points가 n개 찍혀있는 smooth curves들의 moduli space입니다.;;

흠, 설명하나마나인가요?;; 집합론적으로 이 공간은 the set of all isomorphism classes of smooth curves with n marked points of genus g 입니다. 그런데 집합만으로는 재미가 없으니까 parameter space로서 역할을 하게하기위해 좋은 기하학적 구조를 준 것이 입니다. 마치 을 '실수의 집합'이라고만 생각하면 재미없고 여기에 field 구조도 주고 metric도 주고하면 훨씬 다양한 것들을 할 수 있는 것과 비슷합니다.
 
예를들어 의 경우 에 marked pts 4개가 찍혀있는 놈들의 moduli인데 처음 3 marked pts를 각각 로 보내는 isomorphism에 4번째 marked pts를 넣은 값을 대응시켜주는 을 생각하면(즉, cross ratio),  을 얻습니다. 는 이것의 compactification 이니까 자연스럽게 임을 예상할 수 있겠죠?

일반적으로 을 로 만들기위해 smooth가 아닌 curve들을 더 넣어줄 필요가 있는데 Deligne-Knudsen-Mumford가 한 것은 'stable curve'라 불리는 녀석들을 더 넣어주면 된다는 것이었습니다. 따라서 는 genus가 g이고 distinct marked points가 n개 찍혀있는 stable curves들의 moduli space가 됩니다. 아, 여기서 stable curve란 automorphism group이 finite인 curve를 말합니다.

제가 소개한 것은 Deligne-Knudsen-Mumford의 compactification이었지만 이 외에도 현재까지 알려진 compactification 방법이 적어도 4~5가지는 됩니다. (4~5가지가 제가아는 범위;;) 주어진 공간을 compactification하는 주요한 목적 중 하나가 Enumerative geometry를 하기위함인데 compactification의 방법에 따라 같은 문제에 대해서도 counting number가 달라지기도하고 Gromov-Witten Invariant같은 녀석들은 유리수가 나오기도 합니다.;; 일련의 수학자들이 풀고싶어하는 문제 중 하나는 현재까지 알려진 다양한 compactification 사이의 관계, 그들이 주는 counting number 사이의 관계를 찾는 것입니다. 이를 시도하는 방법은 여러가지가 있겠지만 F-conjecture가 풀릴경우 이런 종류의 문제 해결에 상당한 도움을 줄 수 있을 것으로 예상하고 있습니다.

이제 겨우 용어 하나에 대한 설명이 끝났으니 빨리 다음으로 넘어가죠.ㅋ

이 라는 공간은 좋은 stratification을 가지고 있습니다. 우리가 위상수학을 배우다보면 real 2-dimensional torus를 만들 때 0-cell 한 개에 1-cell 두 개를 붙이고 다시 2-cell 한 개를 붙여서 만듭니다. 즉, 실2차원 토러스는 0-cell 1개, 1-cell 2개, 2-cell 1개로 쪼갤 수 있는데 이런것을 기하학에서는 stratification이라 부릅니다.
 
에는 parametrize하는 curve의 node의 개수에따라 natural한 stratification이 존재합니다. 이 stratification에서 1-cell에 해당하는, 즉 1-dimensional strata에 해당하는 놈들을 curve strata라 부릅니다.

F-conjecture는  위의 임의의 curve는 curve stara의 적당한 linear combination과 항상 numerically equivalent하다는 것입니다. 이 명제는 처음 주어진 문제와 동치입니다.

왜 동치인지 잠시 보죠.

Neron-Severi group이라는게 있습니다. 주어진 공간 의 divisor group을 numerically equivalent한 것들은 한원소로 묶어준 공간인데 우리가 잘 알고있는 Picard group보다 가지고 있는 정보가 작습니다. (왜냐하면 Picard group은 linearly equivalent한 것들끼리 묶어준건데, linearly equivalent이면 numerically equivalent하니까요.) 일반적으로 Picard group은 torsion element가 존재할 수도 있고, infinite rank를 가질 수도 있습니다. (e.g. elliptic curve) 하지만 Neron-Severi group은 항상 free abelian group of finite rank가 됩니다! 여기에 를 tensor하면 유한차원 벡터공간이 되니까 다루기 좋은 녀석이 되죠. 이를 Neron-Severi space라 부르고 이라 표시합니다.

안에서 ample divisor class (resp. nef divisor class)들을 모두 찾아보면 convex cone을 이루는데 이를 ample cone (resp. nef cone)이라 부르고 Amp(X) (resp. Nef(X))라 표시합니다.

이제 의 dual space로 이라는 공간을 정의하고 Nef(X)의 dual space를  안에서 생각할 수 있는데 이를 라 표시하고 Mori cone (혹은 Mori-Kleiman cone)이라 부릅니다. 이 Mori cone은 curve들의 numerically equivalent class의 nonnegative linear combination의 space의 closure가 되는데 위에서 얘기한 "임의의 curve는 curve stara의 적당한 linear combination과 항상 numerically equivalent하다는 것"은 결국 curve strata가 Mori cone을 generate한다는 것과 같습니다. Mori cone은 closed convex cone이 되는데 이는 boundary에 있는 extremal ray가 Mori cone을 generate한다는 뜻이고 결국 extremal ray에 curve stratum이 대응된다는 말이죠.


말은 복잡한데... 결국 이 문제의 목적은  위에서의 effective cone을 찾는 것 입니다. F-conjecture는 그 description에 관한 추측 중 하나구요. 비슷하게 nef cone과 ample cone에 대한 문제도 있습니다. 임의의 irreducible curve strata와의 intersection number가 positive(resp.nonnegative)인 것과 주이진 divisor가 ample(resp.nef)인게 동치라는 추측인데, 보통 이것도 합쳐서 F-conjecture라 부릅니다.

우리는 어떤 projective variety 와 ample line bundle 에 대하여 임을 알고 있습니다. 이 때 line bundle 에 variation을 줘서 움직이면 base locus가 변하면서 서로 birational equivalent한 다양한 variety를 얻을 수 있는데 이런 sense는 compactification 사이의 관계를 밝히는데에도, MMP에서도 중요합니다.

궁극적으로는 위의 Effective cone을 여러개의 chamber로 쪼개서 chamer들 사이를 wall-crossing할 때마다 서로 다른 birational한 objects들을 얻고, 각 wall-crossing이 구체적으로 어떻게 이뤄지는지(예를들면 sequence of blow-ups and downs 로 연결되는지)를 조사하는 것입니다. 이걸 해결하면 보다 간단하지만 서로 관계가 잘 알려진 space 위에서 우리가 원하는 작업들을 할 수 있죠.

현재 제가 하고있는 방법 중 하나는 marked points에 weight를 줘서 weight를 변화시키면서 moduli space가 어떻게 변하는지 관찰하는 겁니다. weight를 변화시키면 역시 다양한 birational한 objects들이 등장하는데 그 중엔 ample cone이나 nef cone의 description이 상대적으로 쉬운 case들이 있거든요. 이들과 연결시켜서 원래 문제를 해결하려는거죠.^^

How long will you need to find your truest, most productive niche? This I cannot predict, for, sadly, access to a podium confers no gift of prophecy. But I can say that however long it takes, it will be time well spent.

I am reminded of a friend from the early 1970s, Edward Witten. I liked Ed, but felt sorry for him, too, because, for all his potential, he lacked focus. He had been a history major in college, and a linguistics minor. On graduating, though, he concluded that, as rewarding as these fields had been, he was not really cut out to make a living at them. He decided that what he was really meant to do was study economics. And so, he applied to graduate school, and was accepted at the University of Wisconsin. And, after only a semester, he dropped out of the program. Not for him. So, history was out; linguistics, out; economics, out. What to do? This was a time of widespread political activism, and Ed became an aide to Senator George McGovern, then running for the presidency on an anti-war platform. He also wrote articles for political journals like the Nation and the New Republic. After some months, Ed realized that politics was not for him, because, in his words, it demanded qualities he did not have, foremost among them common sense. All right, then: history, linguistics, economics, politics, were all out as career choices. What to do? Ed suddenly realized that he was really suited to study mathematics. So he applied to graduate school, and was accepted at Princeton. I met him midway through his first year there--just after he had dropped out of the mathematics department. He realized, he said, that what he was really meant to do was study physics; he applied to the physics department, and was accepted.

 I was happy for him. But I lamented all the false starts he had made, and how his career opportunities appeared to be passing him by. Many years later, in 1987, I was reading the New York Times magazine and saw a full-page picture akin to a mug shot, of a thin man with a large head staring out of thick glasses. It was Ed Witten! I was stunned. What was he doing in the Times magazine? Well, he was being profiled as the Einstein of his age, a pioneer of a revolution in physics called "String Theory." Colleagues at Harvard and Princeton, who marvelled at his use of bizarre mathematics to solve physics problems, claimed that his ideas, popularly called a "theory of everything," might at last explain the origins and nature of the cosmos. Ed said modestly of his theories that it was really much easier to solve problems when you analyzed them in at least ten dimensions. Perhaps. Much clearer to me was an observation Ed made that appeared near the end of this article: every one of us has talent; the great challenge in life is finding an outlet to express it. I thought, he has truly earned the right to say that. And I realized that, for all my earlier concerns that he had squandered his time, in fact his entire career path--the ventures in history, linguistics, economics, politics, math, as well as physics--had been rewarding: a time of hard work, self-discovery, and new insight into his potential based on growing experience.

No two career paths are exactly alike, and yours will surely range greatly. Some of you may spend a lifetime honing one set of skills; others may shift course more than once, tacking with the winds of discovery and circumstance. In every case: savor the time, and the work; and take heart from knowing that the path to your own best calling may not always be a straight line.


출처 : http://www.colby.edu/colby.mag/issues/84n3/ivory.html 


그의 어린시절, 중고교시절, 물리를 하기 이전 시절이 어땠는지 궁금해지네요.
아버지도 물리학자인데 어떻게 대학원을 진학할 때까지 물리학을 전공할 생각을 못했는지 신기할 따름.